Universitaire Wiskunde Competitie
- Vanaf het cursusjaar 1991-92 is er in Nederland en wat later ook in [en samen met] Vlaanderen een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor studenten georganiseerd: "De UWC in oude stijl".
Gedurende zes weken rond de kerst was er gelegenheid om de door de redactie verzamelde opgaven,
van eenvoudig tot (zeer) moeilijk, op te lossen. De coördinatie was de eerste jaren in handen van Karel Post, de bekende "problemist" van de T.U.E. (en jarenlang secretaris van O.P.Lossers). Helaas, hij is niet langer onder ons. Zijn opvolger was Herman Bavinck. Met het verschijnen van een nieuwe serie, de vijfde, van het Nieuw Archief voor Wiskunde [NAvW] werd de opzet van de competitie veranderd. De "UWC in nieuwe stijl" is een laddercompetitie die, net als voorheen, open staat voor studenten in Nederland en [tot september 2004] Vlaanderen. De coördinator tot september 2004 was Jan van Neerven [het laatste jaar samen met Robbert Fokkink]. Matthijs Coster is de huidige baas.
- Een link naar een computeralgebra-uitwerking van Opgave 2002-1-B van de UWC [oplossing op p.276 van 2002-3 (het septembernummer van deel 3 van het NAvW)] met behulp van GAP (Groups,Algorithms and Programming) is te vinden op mijn algebra voor TW pagina (rechts van de zegel met het ikosaëder, helemaal onderaan staan links naar MuPAD- en Maple-uitwerkingen).
- De combinatorische identiteit van opgave 2002-3-C bevat getallen van Catalan, een bewijs met behulp van (het tellen van) roosterpaden ligt dus voor de hand. Zie bijvoorbeeld: P.Hilton & J.Pedersen, The ballot problem and Catalan numbers, NAvW (4th series) 8 No.2,209-216,(1990). Het kan, natuurlijk, ook met genererende functies. Zie bijvoorbeeld: J.Cigler,Operatormethoden für q-Identitäten VII,ÖAW Sitzungsber.Abt.II 208,123-142,(1999). Sinds het werk van Wilf & Zeilberger zijn ook computers in staat veel combinatorische identiteiten bewijzen. Voor een eenvoudige goed leesbare introductie zie: A.Brouwer, Automatic summation using Zeilberger-Wilf theory, NAvW(5th series) 3 Nr.4,308-312. Omdat Herbert Wilf inmiddels met emeritaat is, is Doron Zeilbergers web site de aangewezen plek voor up-to-date informatie (en een veelheid van geestig opiniërend commentaar). Voorbeeld: Maple8 lost 2002-3-C op [in pdf 22kB].
- Even iets rechtzetten. De gepubliceerde oplossing van opgave 2003-2-A [NAvW,4 Nr.4,349-350,(2003)] is afkomstig van Frits Beukers. De oplossing bevat in feite een recursieve constructie van een rij a met
ak = 1 voor k = 1 en ak+1 = ak, als ("first case") 3 tot de macht ak congruent is met -5 modulo 2k+3 en ak+1 = ak + 2k, als ("second case") 3 tot de macht ak congruent is met -5 + 2k+2 modulo 2k+3. Deze rij begint met 1,3,3,11,11,11,11,11,267,267,1219,3339,7435,... en ontstaat op natuurlijke wijze als rij van opvolgende beste benaderingen, in 2-adische zin, van log(-5)/log(3) met log de natuurlijke 2-adische logarithme op Q. Toelichting en bijbehorend Maple-werkblad [in pdf, 20kB, zonder gebruik van het Maple package padic].
- Mijn oplossing [in dvi] respectievelijk [in pdf] van het algemene geval van opgave 2003/4-B.
Als oefenopgave (hors concours) kunt u
eens proberen na te gaan wat de Zwitserse zegel hiernaast met de gulden snede van doen heeft. Voor een oplossing zie, bijvoorbeeld, hoofdstuk 3 van het boekje:"Mathematelie" van de hand van Henk van Dijk (ISBN 90-75536-04-6) over wiskundige filatelie. Deze zogenaamde gulden rechthoek is ook het logo van Sketchpad.
Als u in interactieve meetkunde geïnteresserd bent, een gratis demoversie is beschikbaar voor download van de Sketchpad site.
Een interessant alternatief is Cabri; de gratis
demoversie hiervan is "tijd-beperkt" en opslaan (van macro's bijvoorbeeld) is uitgeschakeld.
Prachtige andere sites om een meetkundige reis te beginnen zijn bij voorbeeld:
Xah's curves ,
Eric's mathworld en
Bogomolny's cut-the-knot. Op de laatste site vindt u onder andere een driehoek van
Morley applet, een ander
populair onderwerp voor presentaties. Voor niet-euclidische meetkunde met Java applets is Joel Castellanos' site de plaats om te bezoeken.
. De vijf geneste rechthoeken op de zegel kunnen we ontstaan denken door "steeds een vierkant weg te laten".
Het is, in de practijk van passer en lineaal, niet eenvoudig om deze
constructiewijze nog verder voort te zetten. Zij namelijk
Rn de (an bij bn)-rechthoek die na n stappen uit de begin-rechthoek
R0 met a0 = a < b0 = 1 ontstaat, waarbij a niet precies gelijk is aan de
gulden waarde q gegeven door 
dan bn+1 = an en an+1 = bn - an en dus
an = (-1)nFn+1 (a - qn),
waarin (Fn) de rij van de getallen van Fibonacci is, gegeven door F0 = 0,
F1 = 1 en Fn+2 = Fn+1 + Fn, en waarin qn :=
Fn/Fn+1 met qn --> q (en q2m
< q < q2m+1).
We zien, uit de tabel, dat met a = 0.612 (een afwijking van maar 1% t.o.v. de gulden waarde q)
de constructie al faalt bij n = 6, omdat a6 < 0 dreigt te worden!
| n | 0 | 1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 | 10 |
| Fn | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 |
8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
| qn | 0 | 1 |
0.5 | 0.666.. |
0.6 | 0.625 |
0.615.. | 0.619.. |
0.6176.. | 0.618181.. |
0.617977.. |
. Twee van de winnende serie posters van de "World Mathematical Year Poster Competition" gaan over het voorkomen van de getallen van Fibonacci en de gulden snede, respectievelijk hoek, in de natuur.
. Gauss bewees,
in 1801, dat een regelmatige p-hoek met p is priem precies dan met passer en lineaal
geconstrueerd kan worden, als p een Fermat-getal Fn is, waarbij per definitie:
Fn = 22n + 1.
Is dit het geval, dan genereren de p-de eenheidswortels over Q een toren van n lichamen,
waarbij de opvolgende uitbreidingen van Q net graad 2 over hun voorganger hebben. Deze zelfde
structuur wordt tegenwoordig benut bij een van de belangrijkste numerieke algorithmes van deze tijd, de
FFT
(Fast Fourier Transform). Opmerking: "Terwijl Fn
priem is voor n is 0 tot en met 4 (F4=65537) zijn er tot op heden geen andere
Fermat-priemen gevonden". Op de postzegel is de cirkel in 17 gelijke stukjes verdeeld; F2 = 17, een priemgetal. De regelmatige 17-hoek is dus met passer en lineaal te construeren.
. Gauss heeft passer en tekendriehoek ook in de praktijk gebruikt, zoals bij zijn landmeetkundig werk; zie de achterkant van het aan Gauss gewijde vroegere Duitse biljet van 10 mark . Hij gebruikte daarbij o.a. zijn methode van de
kleinste kwadraten . Ook op de zegel van
Euler , vinden we een passer, en een tekendriehoek (en een globe). Het Zwitserse 10 SFR-biljet is aan Euler, geboren in 1707 in het Basel van de Bernoullis, gewijd. Op de achterzijde vinden we een lenzenstelsel (Euler schreef in de jaren 1769-1771 zijn beroemde driedelig werk:"Dioptrica") en
een schematisch beeld van ons zonnestelsel, ter herdenking van zijn in 1774 verschenen boek:
"Theoria motus planetarium et cometarum".
Als "zeemeetkundige" is
Pedro Nunez (gelatiniseerd: "Nonius") bekend geworden door het naar hem genoemde mechanisme om nauwkeurig schaalverdelingen te kunnen aflezen en verder o.a. door de theorie van het
loxodroom een type kromme op de (aard-)bol die zich goed leent voor het eenvoudig uitzetten van een koers op een zeekaart.
Kijk eens bij de Marine . Op het schilderij uit 1630, Archimedes
(
) voorstellend, van de
Spaans-Italiaanse schilder Jose Ribera, alias Lo Spagnoletto, [in April 2006 we visited his place of birth, Xàtiva (Játiva) in the province of Valencia], zien we de passer al weer.
Een mooi velletje met drie Portugese zegels uit 2002
ter nagedachtenis aan Pedro Nunez' geboorte, vijfhonderd jaar daarvoor.
email: [remove the antispam phrase!]
A.A. Jagers